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本文将以自言自语的角度整理作者学习傅里叶时的部分公式与定理
简而言之，定理、性质及其推导的速查表
某些推导会可以忽略成立条件以求简洁。(因为一般都成立
一，傅里叶级数
我觉得这个像呼吸一样自然的东西应该是十分简单明了：
周期函数可以写成三角级数的和
只需要满足：在任何周期内，x(t)须绝对可积；在任一有限区间中，x(t)只能取有限个最大值或最小值；
在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。
似乎也是呼吸一样自然啊(喜)
写点直观的：
若
则存在
为什么直流项要用a呢，因为直流也是偶的。(笑)
实际上也很显然分为三部分：
直流，偶，奇。
接下来给出一些看算能看得过去的计算过程
这里不做数学上的严谨而追求形式上的浪漫。
规定完全正交基
为啥完全呢，我也说不好，但正交很好解释，就是两两内积是0嘛.
有没有觉得最后一条不好看，是叛徒，我也这样想，要把
里的1换成
罢，也不好看。
规定内积括号
我们把式
抓过来，易得：
可得
同理可得
好，傅里叶级数出来了。
但是因为我们选取的1.1式不够漂亮，搞得一起用正余弦，那么就用欧拉公式把正余弦统一。
就让
好了。
还是看看正交性：
注意对于复数函数，内积中第二函数要变为共轭
即
类似于上面的推导，我们得到
赞美啊！直流项和交流项的系数统一了，这是因为正负的共轭项相抵消了。
那么就是傅里叶级数变换对：
-----------------
易证当
时
(这一点会在傅里叶变换里仔细说明)
那么就有
继续赞美！这也解释为啥直流量要多除一个2了。它2出来了。
同时我们也发现了一写小性质，
比如说若
则
什么的，这些在傅里叶里会细讲。
这里说一下帕塞瓦尔定理：
二，傅里叶变换
看来我也得类似的推广一下
就是一个傅里叶级数的周期趋向于无穷，然后频谱就连续了什么的。
然后要说这个虽然在这个过程每个幅度都趋向于0然后但仍然有相对大小，然后乘上一个正在趋向于无穷大的周期T，就刚好变成了一个大小差不多的东西...
但我不太喜欢这个东西，我更喜欢把这个定义当作呼吸一样自然的东西。：
记作
存在条件是绝对可积。
我开始呼吸了，嘶哈嘶哈。
她好漂亮啊。
物理意义？就是每个频率上的相对幅度大小，或者说“密度”。
你要说反变换的系数不漂亮？
要么一边一半，要么把模拟角频率换成模拟频率。
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这里我想介绍一下卷积：
，性质略
知道交换律结合律就差不多
还有一个
然后说一下我最喜欢的delta\n
函数
就这样慢慢体会。
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然后给出几条傅里叶变换的性质
设
1，线性：
其实就是积分的线性
2，对偶性
对反变换式做变量代换
得
，对比正变换易证
3，尺度变换
也是变量代换。
4，时移性质
证：
5，频移性质
证：
6，时域微分
证：
显然得证
(若f(t)有直流量会被求导掉，需要单独做广义傅里叶变换)
7，频域微分
证：
显然得证
8，时域卷积
证：
9，频域卷积
证：
我们有了这九条性质...就算几个看看吧
什么时域越宽频域越窄也体现出来了。
然后接着讲性质：
这四条很容易证明，用
把积分拆成实部和虚部两个就能证出来。
然后是帕塞瓦尔定理
----------------------
然后顺便说一下希尔伯特变换
对于一个因果信号，即
举一例：
------------------------
现在我们在回去看一下周期函数的傅里叶变换
设单个周期为
则以周期
延拓之后就是
问题是，后者的傅里叶变换是什么？
那么
呼吸顺畅，你看看，就是频域以
间隔抽样了嘛。
由此我们推导出了傅里叶级数。
最后简单讲讲应用：
电路分析里用复数分析能够得到一个电路的增益
就是
，这个刚好是这个的电路单位冲激响应
的傅里叶变换
输入信号
的响应就是
我觉得要是用FT分析电路的话，不如在拉普拉斯变换里一起讲，我更原意把拉氏变换当作分析系统的手段，所以我目前的思路里没有拉普拉斯变换。
三，离散时间傅里叶变换
预备知识：
离散函数
仅当宗量为0时取1，否则为0
和连续的
物理含义稍有差距
直接切入
就是时间域被以
等间隔采样了
理想的采样就是乘上
这个东西
但物理上没法实现，所以就是直接测量获取幅度就是了
那么
注意抽样之后还有多了一个系数
我对
的理解是
在单位长度上的平均值
而另一方面：
即：
把上式视作频域周期函数得傅里叶变换，根据逆变换得
引入数字频域量：
其中
是数字角频率，可以认为是
的角频率
上面的就是离散时间信号傅里叶变换对
这里说一下我理解的数字角频率是啥
首先，有个东西叫做奈奎斯特抽样定理，就是你做以
等间隔采样后，最高的有效频率是
，这个似乎不难理解就是采样结果是1，-1，1，-1这种就是最高频率了，抽样频率的一半。
第二，它实际上是把
映射到
第三，数字角频率的最高值
对应的是抽样频率的一半。
最后，频率混叠的问题我没写，建议自己了解。
然后说一下反变换
这里可以做一个数学上的变化
其实这里可以进一步引入
变换，也很漂亮，举一道例题：
对于
，在单位圆内只有
一个极点
对于
,在单位圆内有一级极点
和
级极点
.
综上
虽然是抽样，但还是傅里叶的，所以那些对称性质，DTFT都有
比如时移：
这里就说一个不太一样的
定义离散卷积
还有一个非常重要的帕塞瓦尔定理
我们说了这么多
大概可以发现：
一边周期化对应另一边的离散化
那么我们已经研究了
时域连续
频域连续：一般非周期连续信号
时域周期
频域离散：傅里叶级数
时域离散
频域周期：离散时间傅里叶变换
那么还剩什么呢：
就是最特殊的情况，时域和频域都是周期离散的情况，这种东西是便于计算机分析和存储的。
那就是：离散傅里叶变换DFT
四，离散傅里叶级数与离散傅里叶变换
我们在前面三部分提出两个主要的变换对
FT：
DTFT
但他们二者的频域都是连续量，没有办法被计算机有效处理，所以我们需要引入使频域离散的办法：时域周期化。
令
是一个周期为
的序列，即
对于任意正整数
总有
我们先看一个比较一般的周期函数的DTFT
设门函数
则
若有
，那么
好的，频域在周期化的基础上离散化了
取
我们就得到了一个在频域上周期同为
的序列。
再回去看看IDTFT的定义
令
集合
对于长度为N的序列是一组完备的离散正交函数系。
可得如下推导
综上：
这就是
变换对
离散傅里叶级数。
什么对称性啊，线性啊，DTFT有的，它都有。
在此不多赘述。
--------------
接下来扯一扯循环卷积了。
若有周期都为的
两序列
，对应的DFS为
循环卷积为
对称得：
----------------
，就是选取
的主周期截断了一下，毕竟周期序列，一个周期就浓缩了所有内容。所有的性质都可以参照DFS。
但是
可不是一个长度N的序列，而是周期为N的序列的一个周期。
所以很多和它相关的性质都会带一个循环
比如
这里我们要引入一个运算符号
是取模运算，就是
我们把DFS截断一下进而得到
的定义
我们可以知道DFT是DTFT的频域等间隔采样。
(在
域中
)
或者看时域区别
结果一致。说明只要DFT点数大于
长度，总能重构DTFT的结果。
不过，既然我们之前知道DFT是对DTFT的抽样，那么只要增加抽样密度，获取的DFT的点连接也会更光滑，更加逼近DTFT的结果。具体的实施方法就是补零。这种操作不增加信息量，只是让我们获取了更多的信息。
紫，橙，红，松绿依次是点列
的4，8，16点DFT和DTFT,采样这一点也显而易见了。
然后正式讲一些DFT的性质：
1，线性：略
2，反转定理
3，序列循环移位
4，对称性
虽然和前面的差不多，但是因为DFT是从0到N，没有负项。
写法和之前有些小区别：
设
若
,即
共轭对称
特别的，
顺便说一下：
最高频率在
5，循环卷积
若有长度都为的
两序列
，对应的DFS为
循环卷积为
对称得：
6，帕塞瓦尔定理
-----------------
再然后写几个奇妙性质
是长度为
的序列，其
为
......
有关于FS,FT,DTFT,DFT及其反变换的总结就到这里，快速傅里叶变换的推导我会另写一篇文章，因为FFT是算法，而不是新的变换。