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news 2025/7/16 14:27:01

网站按钮设计成什么颜色原因,网店推广平台,网站搜索引擎,现在建网站软件调和平均≤\le≤几何平均≤\le≤算术平均≤\le≤平方平均即n∑i1n1xi≤∏i1nxin≤∑i1nxin≤∑i1nxi2n\frac{n}{\sum_{i1}^{n}\frac{1}{x_i}}\le \sqrt[n]{\prod_{i1}^{n}x_i}\le \frac{\sum_{i1}^{n}x_i}{n}\le \sqrt{\frac{\sum_{i1}^{n}x_i^2}{n}}∑i1nxi1n≤n∏i1…

调和平均 $≤\le$ 几何平均 $≤\le$ 算术平均 $≤\le$ 平方平均
即 $n∑i=1n1xi≤∏i=1nxin≤∑i=1nxin≤∑i=1nxi2n\frac{n}{\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_i}}\le \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}x_i}\le \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}\le \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i^2}{n}}$
其中 $xi>0(i=1,2,⋯,n)x_i>0(i=1,2,\cdots,n)$ ,当且仅当 $x1=x2=⋯=xnx_1=x_2=\cdots=x_n$ 时取等
证明：
几何平均 $≤\le$ 算术平均
由Jensen不等式
$ln⁡∑i=1nxin≥∑i=0nln⁡xin≥ln⁡∏i=1nxin\ln \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n} \ge \frac{\sum_{i=0}^{n}\ln x_i}{n}\ge \ln \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}x_i}$
即 $∏i=1nxin≤∑i=1nxin\sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}x_i}\le \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}$
调和平均 $≤\le$ 几何平均
$n∑i=1n1xi≥∏i=1n1xin=1∏i=1nxin\frac{n}{\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_i}} \ge \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}\frac{1}{x_i}}=\frac{1}{\sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}x_i}}$
即 $n∑i=1n1xi≤∏i=1nxin\frac{n}{\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_i}}\le \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}x_i}$
算术平均 $≤\le$ 平方平均
设 $An=∑i=1nxin,Qn=∑i=1nxi2nA_n=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n},Q_n=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i^2}{n}}$
要证明 $An≤QnA_n\le Q_n$
即证明 $Qn2−An2≥0Q_n^2-A_n^2\ge 0$
$Qn2−An2=Qn2−2An2+An2=∑i=1nxi2n−2(∑i=1nxi)Ann+nAn2n=∑i=1n(xi−An)2n≥0\begin{aligned} Q_n^2-A_n^2&=Q_n^2-2A_n^2+A_n^2\\ &=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i^2}{n}-\frac{2(\sum_{i=1}^{n} x_i)A_n}{n}+\frac{nA_n^2}{n}\\ &=\sum_{i=1}^{n}\frac{(x_i-A_n)^2}{n}\\ &\ge 0 \end{aligned}$
所以 $An≤QnA_n\le Q_n$