数据结构---二叉树及堆的实现

一、树的概念树是一种非线性的数据结构它是由nn0)个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一颗倒挂的树也就是说它是根朝上而叶朝下的。有一个特殊的结点叫做根结点根结点没有前驱节点。除了根结点其余结点被分成MM0个互不相交的集合T1,T2,T3....Tm,其中每一个集合Ti1im)又是一颗结构与树类似的子树。每颗子树的根结点有且只有一个前驱可以有0或多个后继。因此树是递归定义的。例如A是B的前驱结点B是A的后继结点。对于A来说没有前驱结点。满足树的条件1、树形结构子树是不能相交的。2、除了根结点外每一个结点有且仅有一个父结点3、一颗N个结点的树有N-1条边。以下就不是树树的相关术语1、父结点/双亲结点若一个结点含有子结点则这个结点称为其子结点的父结点如上图A是B的父结点。2、子结点/孩子结点一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点如上图B是A的孩子结点。3、结点的度一个结点有几个孩子它的度就是多少比如A的度为6F的度为2K的度为0.4、树的度一棵树中最大的结点的度称为树的度如上图树的度为6。5、叶子结点/终端结点度为0的结点称为叶结点如上图B、C、H、I等结点为叶结点。6、分支结点/非终端结点度不为0的结点如上图D 、E、F、G...等结点为分支结点。7、兄弟结点具有相同父结点的结点互称为兄弟结点亲兄弟如上图B、C是兄弟结点。8、结点的层次从根开始定义根为第一层根的子结点为第二层以此类推9、树的高度或深度树中结点的最大层次如上图树的高度为410、结点的祖先从根到该结点所经分支上的所有结点如上图A是所有结点的祖先。11、路径一条从树中任意结点出发沿父结点-子结点连接达到任意结点的序列如A到Q的路径为A-E-.J-Q H到Q的路径是H-D-A-E-J-Q12、子孙以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图所有结点都是A的子孙13、森林由mm0颗互不相交的树的集合称为森林。树的表示树有很多表示方法孩子表示法孩子兄弟表示法双亲表示法孩子双亲表示法​ struct TreeNode { struct Node* child; // 左边开始的第⼀个孩⼦结点 struct Node* brother; // 指向其右边的下⼀个兄弟结点 int data; // 结点中的数据域 }; ​二、二叉树1、概念在树形结构中我们最常用的就是二叉树一颗二叉树是结点的一个有限集合该集合由一个根结点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成或者为空。从上图可以看出1、二叉树不存在度大于2的结点。2、二叉树的子树有左右之分次序不能颠倒因此二叉树是有序树。现实中的二叉树特殊的二叉树满二叉树一个二叉树如果每一层的结点数都达到了最大值则这个二叉树就是满二叉树。也就是说如果一个二叉树的层数为k且结点总数是则它就是满二叉树。完全二叉树完全二叉树是效率很高的数据结构完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为k的有n个结点的二叉树当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。满二叉树是一种特殊的完全二叉树。完全二叉树大概特点可以归纳为1、除了最后一层每一层的结点个数达到最大2、最后一层结点个数不一定达到最大没有达到最大就是完全二叉树达到最大既是完全二叉树又是满二叉树3、结点从左到右依次排列。完全二叉树和满二叉树的区别与联系三、二叉树的存储结构二叉树一般可以使用两种结构存储一种顺序结构一种链式结构。1、顺序结构顺序结构存储就是使用数组来存储一般使用数组只适合表示完全二叉树因为不是完全二叉树会有空间的浪费完全二叉树更适合使用顺序结构存储。2、链式结构二叉树的链式存储结构是指用链表来表示一颗二叉树即用链来指示元素的逻辑关系通常的方法是链表中每一个结点由三个域组成数据域和左右指针域左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址。链式结构又分为二叉链和三叉链。四、堆的实现堆是一种特殊的二叉树。堆是完全二叉树。堆又分为大根堆和小根堆小根堆如下图小根堆的根结点的值比左右孩子结点小。但是小根堆不是升序的结构大根堆根结点比它的左右子树大。重要性质注对于具有n个结点的完全二叉树如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有结点从0开始编号则对于序号为i的结点又1、若i0,i位置结点的双亲序号i-1/2i0i为根结点编号没有双亲结点这里的i是指子结点所以这里的2、3点中i 是已知父结点求孩子结点。n是完全二叉树总的结点个数。2、若2i1n,左孩子序号2i12i1n,否则无左孩子。3、若2i2n,右孩子序号2i22i2n.否则无右孩子。已知孩子结点-1/2父结点2*父结点孩子结点-1所以孩子结点2*父节点1//test.c #define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS #includeHeap.h void test01() { HP hp; HPInit(hp); HPPush(hp, 56); HPPush(hp, 10); HPPush(hp, 15); HPPush(hp, 30); HPPush(hp, 70); HPPush(hp,25); HPPrint(hp); //HPDestory(hp); } void HeapSort(int* arr, int n) { //建堆向下调整算法建堆 for (int i (n - 1 - 1) / 2; i 0; i--) { AdjustDown(arr, i, n); } int end n - 1; while (end 0) { Swap(arr[0], arr[end]); AdjustDown(arr, 0, end); } } int main() { test01(); return 0; }//Heap.c #define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS #includeHeap.h; void HPInit(HP* php) { php-arr NULL; php-size php-capacity 0; } void HPDestory(HP* php) { if (php-arr) free(php-arr); php-arr NULL; php-size php-capacity 0; } void HPPrint(HP* php) { for (int i 0; i php-size; i) { printf(%d, php-arr[i]); } printf(\n); } void Swap(int* x, int* y) { int tmp *x; *x *y; *y tmp; } void AdjustDown(HPDataType* arr, int parent, int n) { int child parent * 2 1; while (child n) { if (child 1 n arr[child] arr[child 1]) { child; } if (arr[child] arr[parent]) { Swap(arr[child], arr[parent]); parent child; child parent * 2 1; } else { break; } } } void AdjustUp(HPDataType* arr, int child) { int parent (child - 1) / 2; while (child0) { //大堆 //小堆 if (arr[child] arr[parent]) { //调整 Swap(arr[child], arr[parent]); child parent; parent (child - 1) / 2; } else { break; } } } void HPPush(HP* php, HPDataType x) { assert(php); //判断空间是否足够 if (php-size php-capacity) { int newCapacity php-capacity 0 ? 4 : 2 * php-capacity; HPDataType* tmp (HPDataType*)realloc(php-arr, sizeof(HPDataType)*newCapacity); if (tmp NULL) { perror(realloc fail!); exit(1); } php-arr tmp; php-capacity newCapacity; } php-arr[php-size] x; //向上调整 AdjustUp(php-arr, php-size); php-size; } void HPPop(HP* php) { assert(HPEmpty(php)); //0 php-size-1 Swap(php-arr[0], php-arr[php-size - 1]); --php-size; } bool HPEmpty(HP* php) { assert(php); return php-size 0; }Heap.h #pragma once #includestdio.h #includestdlib.h #includeassert.h #includestdbool.h //堆的结构 typedef int HPDataType; typedef struct Heap { HPDataType* arr; int size;//有效数据个数 int capacity;//空间大小 }HP; void HPInit(HP* php); void HPDestory(HP* php); void HPPush(HP* php, HPDataType x); void AdiustDown(HPDataType* arr, int parent, int n); void AdiustUp(HPDataType* arr, int child); void HPPrint(HP* php); void HPPop(HP* php); //判空 bool HPEmpty(HP* php);