用Keras快速实现Factorization Machines算法

在工业级程度的机器学习实践中，特征维往往非常巨大，包括稠密特征以及one-hot形式的大规模稀疏特征。随着特征维增加，基于传统的广义线模方法的统计假设：特征之间应保持独立不同分布，在大规模高维特征表征下几乎难以保证，同时高维稀疏特征如何有效表征，特征之间怎样有效组合，相对于LR（logistic regression），FM算法做了相应的改进。

Factorization Machines算法介绍

Factorization Machines（因子分解机, FM），这是一种新的模型，它结合了支持向量机（SVM）和因式分解模型的优点。FM是一种通用预测器（与SVM一样），能够处理任何实值数。另外，其使用分解参数模拟变量之间的所有交互（原文：In contrast to SVMs, FMs model all interactions between variables using factorized parameters.）。因此，即使在SVM也无力回天的稀疏性（如推荐系统）问题中，FM模型也能胜任。本文证明了FM的模型方程可以在线性时间内完成计算。

另一方面，有许多不同的因子分解模型，如矩阵分解；并行因子分析或专用模型，如SVD ++，PITF或FPMC。这些模型的缺点是它们不具有普遍适用性，仅适用于特殊输入数据。此外，他们的模型方程和优化算法也是针对特定任务的。FM仅通过指定输入数据（即特征向量）就可以模拟这些模型。这使得即使对于没有分解模型专业知识的用户，FM也很容易使用。

Factorization Machines算法原理

最早的广告点击率预估应用算法LR本质上其实是一个线性回归，数学表达为：
$$linearmodel:y=w_0+\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i$$
在线性回归中，算法的统计假设前提是各个特征是独立的，不考虑特征间的相关联性。但是在实际的工程实践中，我们很难保证特征间的独立性。

为了让模型能够表征相互关联特征的融合表达，通常的做法是用多项式来表示，这里考虑二阶交互，即$x_i$和$x_j$的相互表达用$x_i{x}_j$来表示，因此对于有限的$n$维特征，特征的两两组合一共有$\frac{(n(n-1))}{2}$个新特征，FM的模型参数总计为$\frac{(n(n-1))}{2}+1$，可训练参数为$n(k+1)+1$，数学表达式为：
$$FMmodel:\tilde{y}(x)=w_0+\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i+\sum _{i=1}^n\sum _{j=i+1}^n{w}_{ij}{x}_i{x}_j$$
其中，$n$代表样本的特征数量，$x_i$是第$i$个特征的值，$w_0,w_i,w_{ij}$是模型参数，$w_{ij}\in W$表示第$i$个变量和第$j$个变量的交互作用(interaction)，只有当$x_i$与$x_j$都不为0时，交叉才有意义。

由于线代中有如下定义：
如果一个实对称矩阵A正定，则A与E合同，那么存在可逆矩阵C，使得$A=C^{T}C$

如果矩阵$W$是正定矩阵，那么只要$k$足够大，就存在$V$使得$W=V{V}^T$，其中$V$是$n\times k$的二维矩阵。因此可以将上面的式子转化为：
$$\tilde{y}(x)=w_0+\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i+\sum _{i=1}^n\sum _{j=i+1}^n<{\mathbf{v}}_i,{\mathbf{v}}_j>x_i{x}_j$$
其中$<\cdot ,\cdot >$表示维数为$k$的向量的点乘，$k$为超参数，决定因子分解的维度：
$$<{\mathbf{v}}_i,{\mathbf{v}}_j>:=\sum _{f=1}^k{v}_{i,f}\cdot v_{j,f}$$
${\mathbf{v}}_i\in \mathbf{V}$表示第$i$个变量的$k$个因子组成的向量。

不过在数据稀疏的情况下，应该选择较小的$k$，因为可能没有足够的数据来估计矩阵$W$。限制$k$的大小能够使得FM模型更加通用，能够提高其泛化能力。

当$n$趋于无穷时，模型参数以幂级增长，特征维度增加不可避免会带来特征的大规模稀疏性，算法计算相当耗时，计算时间复杂度为$O(k{n}^2)$。

FM算法改进

直接对两两组合的特征进行参数拟合计算时间复杂度难以接受，为了降低模型的时间复杂度，我们可以对$w_{ij}$做一个矩阵变换，简单的说，对每一个特征，我们都初始化一个隐含向量（lantent vector）$A_i=[v_{i1},v_{i2},\dots ,v_{ik}{]}^T$，$k$是一个模型参数，一般设置为 30 或 40，因此模型数学表达为：

因此，有:
$$FMmodel:y=w_0+\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i+\frac{1}{2}\sum _{f=1}^k((\sum _{i=1}^n{v}_{i,f}{x}_i{)}^2-\sum _{i=1}^n{v}_{i,f}^2{x}_i^2$$

从上面的描述可以知道FM可以在线性的时间内进行预测。因此模型的参数($w_0,\mathbf{w}和\mathbf{V}$)可以通过梯度下降的方法（例如随机梯度下降）来学习。FM模型的梯度是：

由于${\sum }_{j=1}^n{v}_{j,f}{x}_j$与$i$是独立的，因此可以提前计算其结果。并且每次梯度更新可以在常数时间复杂度内完成，因此FM参数训练的复杂度也是$O(kn)$。综上可知，FM可以在线性时间训练和预测，是一种非常高效的模型。

FM算法扩展到d-阶

前面都是针对2阶FM模型进行讨论，这个模型可以直接拓展到d阶：

其中第$l$个交互作用项的参数可以通过PARAFAC模型的参数：
$$V^l\in {\mathbb{R}}^{n\times k_l}，k_l\in {\mathbb{N}}_0^{+}$$

如果直接计算上面公式的时间复杂度为$O(k_d{n}^d)$，如果进行优化，其时间复杂度也会是线性的。

FM适用预测任务

FM 适用预测任务：

• ``Regression`：FM 本质上是广义线模，能够通过最小化MSE损失来实现回归预测；
• Binary classification：FM 模型输出结果施加一个 sigmoid 函数，通过最小化 binary crossentropy损失来实现二分类预测；
• Ranking：通过对向量$X$预测的分数$Y$，可以对成对向量($X_1$，$X_2$)进行排序。

FM 算法优点：

• 对稀疏数据能够进行有效的参数估计；
• FM 模型的具有线性的时间复杂度，计算速度快；
• FM 模型能够拟合任意实数特征的二次项参数分布；

SVM和FM模型对比

1. 为什么线性SVM在和多项式SVM在稀疏条件下效果会比较差呢？

• 线性SVM只有一维特征，不能挖掘深层次的组合特征在实际预测中并没有很好的表现；
• 而多项式SVM正如前面提到的，交叉的多个特征需要在训练集上共现才能被学习到，否则该对应的参数就为0，这样对于测试集上的case而言这样的特征就失去了意义，因此在稀疏条件下，SVM表现并不能让人满意。
• 而FM不一样，通过向量化的交叉，可以学习到不同特征之间的交互，进行提取到更深层次的抽象意义。

2. 此外，FM和SVM的区别还体现在：

• FM可以在原始形式下进行优化学习，而基于kernel的非线性SVM通常需要在对偶形式下进行；
• FM的模型预测是与训练样本独立，而SVM则与部分训练样本有关，即支持向量。

SVM和FM模型区别总结

• SVM的密集参数化需要直接观察相互作用，而这通常是在稀疏环境中无法获得的。 然而即使在稀疏情况下，FM的参数也可以很好地进行参数估计。
• FM可以直接在原始的模型公式上进行学习，而SVM需要模型推导
• FM模型不依赖于训练集，而SVM依赖于训练集（支持向量和训练集中的数据有关）

用Keras实现FM模型

数据采用威斯康辛州的乳腺癌分类数据集，一共有30个特征。LR的权重参数施加了L1正则化，在高维特征下容易产生稀疏解，偏置项施加的是L2正则，交叉项部分自定义层实现，采用改进后的优化方法。整个模型损失函数采用二分类的交叉熵损失，即对数损失(logloss)，梯度优化器使用adam方法，度量函数则是使用accurary。

在完成了模型的构建后, 可以使用 fm.summary() 来观察一下模型的层和参数情况：

可以看出，模型的参数由3030的矩阵加上逻辑回归的参数一共有3030+30+1=931个。
执行模型的训练：

参考资料

[1] Factorization Machines
[2] [论文阅读]Factorization Machines
[3] FM系列算法解读（FM+FFM+DeepFM)