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$$Y_n=\frac{{\sum }_{i=1}^n{x}_i-n\mu }{\sigma \sqrt[]{n}}$$

$$Y_n=\frac{{\sum }_{i=1}^n{x}_i-n\mu }{\sigma \sqrt[]{n}}=\sum _{i=1}^n(\frac{x_i-\mu }{\sigma \sqrt[]{n}})$$
$$\begin{gathered} f_{Y_n}\stackrel{F傅里叶变换}{⟶}{Y}_n(j\omega )=(e^{-j\omega \frac{-\mu }{\sigma \sqrt[]{n}}}G(j\frac{\omega }{\sigma \sqrt[]{n}}){)}^n=({\int }_{-\infty }^{+\infty }g(t)e^{-j\frac{\omega }{\sigma \sqrt[]{n}}(t-\mu )}dt{)}^n \\ 其中e^{-j\frac{\omega }{\sigma \sqrt[]{n}}(t-\mu )}进行泰勒分解并带入\sigma ，\mu ，则反常积分部分转化为(1-\frac{{\omega }^2}{2n}{)}^n \\ 令n\to +\infty \\ 然后对Y_n进行反傅里叶变换 \\ 得到f_{Y_n}=\frac{1}{2\pi }{e}^{-\frac{u^2}{2}}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{\frac{(j\omega +\mu {)}^2}{2}}d\omega ({\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{\frac{(j\omega +\mu {)}^2}{2}}d\omega =\sqrt[]{2\pi }) \\ 所以：f_{Y_n}=\frac{1}{\sqrt[]{2\pi }}{e}^{-\frac{u^2}{2}} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 当独立时：Z=X+Y,由卷积定理 \\ {f}_z(u)={\int }_{-\infty }^{+\infty }g(t-y)h(y)dy\overleftrightarrow{F}G(j\omega )H(j\omega ) \\ (G(j\omega )H(j\omega )分别为g(t)的傅里叶变换,h(t)的傅里叶变换) \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} 对线性变换进行单一的傅里叶变换 \\ {f}_{\frac{x+b}{a}}(\mu )=(a{\int }_{-a}^{\mu }f(at-b)dt{)}^{\prime }\overleftrightarrow{F}{e}^{-j\omega \frac{b}{a}}G(j\frac{\omega }{a}) \end{gathered}$$
参考：