根轨迹法：首1型尾1型的用处、根轨迹方程的引入

目录一、引入为什么根轨迹法可以分析动态性能1根轨迹法是什么2用二阶电机系统P控制器观察根轨迹法的好处二、极点的含义深度剖析、衰减振荡轴的理解1s平面上的不同极点有什么含义2重新理解极点图的作用衰减、振荡、稳态与极点分布的关系3黄金阻尼比的例子三、稳态增益K是啥如何求解1稳态分量是怎么得到的为什么必须引入单位阶跃2稳态增益和稳态分量有什么关系吗单位阶跃情况下的稳态增益求解四、根轨迹增益K*又是啥尾1型、首1型分别有什么用1尾1型与稳态增益2首1型与根轨迹增益3根轨迹增益有什么用4系统动态性能改善的一般方法五、根轨迹法、闭环与开环零极点之间的关系1根轨迹方程的一般解法思路模值、相角匹配2闭环、开环零极点之间的关系3举例说明一、引入为什么根轨迹法可以分析动态性能1根轨迹法是什么之前我们简单分析了在阶跃输入条件下的不同阻尼比情况得出4种稳定的阻尼比过阻尼、临界阻尼、欠阻尼、零阻尼。并且我们还说一个系统比如伺服电机在制作好了之后就很难更改系统固有属性---极点分布图于是它的动态、稳态性能也不方便更改。于是我们引入了各种各样的控制器用于改善性能。我们曾分析过P、PD控制器对于极点的改善情况P控制器可以让欠阻尼系统的极点上下移动PD控制器的极点则是一个类似圆弧的轨迹。所以本章节的重点就在于用各种控制器去改变系统极点的位置极点移动的轨迹我们称为根轨迹2用二阶电机系统P控制器观察根轨迹法的好处可以看到原本固定的极点在加入P控制器后多了一些灵活性。而极点的含义将在下面章节深度分析。我们可以根据K*的值进行分类讨论而无论是什么情况的阻尼比最终都可以被转化成极点的分布状态。极点在不同区域分布时直接可以决定阻尼情况极点在相近区域分布时还可以将某一同种阻尼情况继续细分进一步研究其动态性能的优劣。这就是根轨迹法的优势通过极点位置根轨迹就能轻松分析出系统各种动态性能的变化。虽然我们这里是直接对开环系统的参数K开环稳态增益K进行分类讨论的但后续我们会使用根轨迹增益K*去替代它在本文中并不能感受到好处但后续会有一系列基于首1型的根轨迹增益K*而推导出的公式和定理可以方便求解分离点、出射角等概念。所以根轨迹增益是必要的。二、极点的含义深度剖析、衰减振荡轴的理解既然根轨迹法本质是在研究极点分布情况那么我们肯定要先来看看极点在各个区域的含义有什么不同。1s平面上的不同极点有什么含义回顾一下我们在高阶系统近似分析时候得到的结论在阶跃输入情况下一个系统的时域响应函数最终可以写为如下形式即每一个极点都对应一个分量。其中共轭复极点2阶极点表示一对衰减振荡分量实极点1阶极点对应纯衰减分量然后还有一个稳态常量A0组成。首先从下面这张图可以看出来Wd其实就是虚轴的长度再结合上面的时域响应函数可以知道---只有复共轭极点才有虚部即振荡分量。而其余在实轴上的极点只会产生衰减分量。二者一结合才成为了衰减振荡分量即实部表示衰减程度、虚部表示振荡频率。于是我们就明白了s平面上系统存在的每一个极点都对应一个衰减量、或振荡衰减量他们决定了时域响应波形的样貌。但这个常量A0又来自于哪里呢请接着看后面稳态增益部分第三章的解释。目前我们就只用认识到实轴和虚轴分别产生衰减、振荡分量即可。2重新理解极点图的作用衰减、振荡、稳态与极点分布的关系于是基于前面对于极点含义的分析、以及之前文章对二阶系统的分类讨论。我们不妨将s平面上的坐标系做一定名字的改写让大家更方便的记忆其功能、性质。衰减轴、振荡轴1当极点位于原点时会产生稳态分量同时也是整个s平面上唯一会创造出稳态值的点。这一点也先不管他马上第三章节就会讲到。2当极点位于虚轴上时系统处于零阻尼状态只会逐渐振荡。所以我们把虚轴称为振荡轴。3当极点位于实轴负半轴时系统处于临界阻尼、或过阻尼状态输出的时域函数只会不断衰减。于是我们把实轴称为衰减轴。4当极点位于2、3象限时系统处于欠阻尼状态既有振荡又在不断衰减。可以理解成他们既有衰减轴的分量、又有振荡轴的分量所以二者的特性均有体现。3黄金阻尼比的例子我们之前知道了一个结论一个系统阻尼比为0.707的时候在工程上的调节时间、超调量等性能综合来看是最优的。而0.707阻尼比的时候恰好就是衰减轴、振荡轴的45度中线。而且在这条中线上距离原点的距离越远--实部越大调节时间越短衰减越快虽然振荡频率也在逐渐增大---虚部也越大但这并无什么影响超调量只与阻尼比相关即整条线上的超调量都是相同的。这也告诉我们一个结论一般二阶系统的动态性能我们只会在意调节时间、超调量等至于振荡频率则没有那么重要。三、稳态增益K是啥如何求解1稳态分量是怎么得到的为什么必须引入单位阶跃由于电机系统中大多都是阶跃信号作为输入即f(t)1t0。而由拉普拉斯变换可知单位阶跃信号的s域表达式为1/s。在与系统传递函数结合相乘后天然会在分母多出一个s因子。即系统极点图凭空出现了一个位于坐标系原点的极点S0所以一般仅仅分析系统传递函数时是不可能出现极点在原点的情况的只有专门分析单位阶跃响应时才会额外蹦出来原点这个极点。虽然这个极点并不是系统本身自带的不能用它去分析其动态性能但却可以套用时域函数公式因为它本身就代表时域函数中的稳态项A0。利用拉普拉斯逆变换带入s0则可以得到衰减分量全都衰减到1了只剩下稳态分量这就是稳态值的由来。我们一般也称之为稳态增益。2稳态增益和稳态分量有什么关系吗单位阶跃情况下的稳态增益求解在任何阶跃输入条件下系统函数都可以写为如下形式而一个好的系统一定会在时间较大时候趋近于稳定即不会有任何振荡与衰减这里我们就认为是t-∞时。我们代入到刚刚的系统时域函数进行分析明显可以发现当t-∞时右边两个分量都衰减至0了即衰减项一阶极点、振荡衰减项二阶极点都衰减到 0时域里最终只剩下原点极点贡献的恒定分量。想要求解这个稳态值只需要令s0代入闭环传递函数中计算得到的数值就是稳态增益。这里的稳态增益就是输出信号和输入信号的比值关系。到这里我们就可以很直白的说出稳态增益就是稳态分量极点分布图的两个轴分别负责掌管振荡与衰减分量而他们的交点则相互抵消只存在稳态分量四、根轨迹增益K*又是啥尾1型、首1型分别有什么用1尾1型与稳态增益我们刚刚已经明白了稳态增益就是在单位阶跃输入的条件下得到的稳态分量那么现在我们来看看什么形式的系统函数可以方便的求出这个稳态分量。所以我们定义出稳态增益的公式尾1型分式快速求解稳态增益。当化为尾1型后直接令s0则后面的因式全都化简为1了直接就得到了稳态增益。尽管这里引入了新的概念---尾1型公式但本质就是上一章节说的单位阶跃引入的原点极点所得到的稳态分量而已。2首1型与根轨迹增益由于根轨迹法关注的是每一个极点在复平面上距离虚轴、实轴的距离即各个极点的位置分布情况。于是尾1法这种表示方式就不方便看比如上面的Tj*s10还需要多算一步才能得到s-1/Tj。就显得很麻烦于是我们将形式进行改写成首1型即s的系数为1。那么就可以一步得到极点结果了。不过这里的极点是开环极点并不能直接用于分析系统动态性能所以我们说首1型仅仅是为了符合后续各种公式定理而规定的特殊形式如根轨迹方程只能用于快速求解开环零点、开环极点一般来说根轨迹增益和稳态增益的数值是不同的他们必然会有图中红色框出来的系数差异。不过这个系数是恒定的即跟轨迹增益与稳态增益之间会有始终成立的比例关系方便互相转换。这里有一点值得注意的根轨迹增益一般永远只表示开环增益也就是G(s)H(s)的比例系数在单位负反馈系统下H(s)1开环增益就是G(s)本身。至于为什么则是因为根轨迹的定义就是开环系统的比例环节K*从0--∞变化时候整体闭环系统极点的运动轨迹。于是我们要补充一点严格意义上我们教科书说的根轨迹都是指的开环根轨迹。除此之外稳态增益也要严格区分开环和闭环的比如上面第三章我们指的就是开环稳态增益。很多时候都混用了一定要搞明白他指的是哪一个3根轨迹增益有什么用到目前为止我们似乎只能明白首1型可以帮助我们快速得到极点的分布情况开环极点但这个系数根轨迹增益似乎没看到其作用啊起码稳态增益还能表示系统稳定后的输出量大小这个根轨迹增益真的一无是处吗其实根轨迹增益会改变闭环极点的位置。尽管系统本身的开环极点、闭环系统的根轨迹早已经固定但不同的K*会确定你的极点到底是在该轨迹上的哪个位置。好比一条赛道大家都知道你会沿着赛道跑但K*油门才能决定你所处的具体位置。4系统动态性能改善的一般方法这里写的比较简略会在以后讲解PID控制器章节时候更加深入分析。五、根轨迹法、闭环与开环零极点之间的关系1根轨迹方程的一般解法思路模值、相角匹配刚刚我们已经明白---在开环系统的某个参数被改变时通常从0-∞变化系统整体的动态性能会发生改变。但真正想要计算闭环极点的位置依旧需要解方程才能得到在简单二阶系统中可以直接利用求根公式但在高阶复杂系统中方程的解不方便求解。于是当时的工程师们相处了用复数运算的性质模值、相角匹配的方式快速验算某些点是否在根轨迹上。这个方法在早期非常好用不过有了matlab等工具后逐渐演变为原理性的理论工具。这部分涉及到复数的运算法则不了解的同学可以点开下面的链接参考我当时学复变函数时候的笔记。复变函数复数的概念、欧拉公式的理解-CSDN博客2闭环、开环零极点之间的关系根轨迹方程中涉及几个开环零点、极点与闭环系统极点的关系。我们来看看。至于系统的开环零点和极点一般题目都会直接告诉我们。或者让我们用首1型分析可以很快得到看首1型也没那么无用吧。不过由于模值、相角匹配的方法只适合验证某些点是否在根轨迹上。且相角条件是最基本的只有满足了相角条件的点才能进一步使用模值条件计算根轨迹增益K*如果相角条件都不满足则直接pass。在后续的学习中我们还会学习更多的画图方法并结合今天的根轨迹方程。3举例说明从下面的例子可以验证虽然根轨迹方程中模值相角思路非常优秀但通常只能用于验证某些点是否处于根轨迹上而很难直接得到准确的极点。